Função Quadrática

Função Quadrática

Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e outros aparatos esportivos que estão a sua volta com tela de alambrado. Tendo recebido 200m de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível.

Podemos ilustrar o problema com o retângulo ABCD. Assim, temos AD=x, BC=x, AC=100-x e CD=100-x. Àrea S da região retangular é calculada multiplicando-se o comprimento pela largura.

S= CD.AD=(100-x).x. Observe que a área do terreno a cercar é dada em função da medida x, ou seja:

f(x)= (100-x).x

100 x - x² = x² +100x

Lei da função:

Note que a lei da função é dada por u F(x)= 3x² - 2x +1, em que a = 3, b = -2 e c = m polinômio do segundo grau.Dizemos então que esta situação nos dá a idéia de função quadrática.

Definição:

Denomina-se função quadrática ou função do segundo grau a função F:R->R, cuja lei de formação é indicada por:

f(x)= ax² + bx + c, para todo x Є R, onde a,b, e c são números reais e a≠0.

Exemplos:

F(x)= 3x² - 2x + 1, em que a=3, b=-2 e c=1

F(x)= -x² + 100x, em que a=-1, b=100 e c=0

F(x)= x² - 4, em que a=1, b=0 e c=-4

F(x)= 20x², em que a=20, b=0 e c=0

Observe que não são funções quadráticas

F(x) = 2x

F(x = 2

F(x) = x +2x + x +1

Que restrições devem ser impostas ao número real m para que a função h(x): (m-3) x - x + 13 seja uma equação do 2º grau.

3 – Gráfico da função quadrática:

O gráfico de uma função quadrática é uma curva aberta denominada parábola.

Para construir o gráfico é preciso descobrir alguns pontos que pertencem à parábola, atribuindo valores a variável x.

Ex: Desenhar o gráfico da função F(x)= x - 2x - 3

X	F(x) = x - 2x - 3	F(x)
-1	F(x) = (-1) - 2(-1) - 3	0
0	F(x) = (0) - 2(0) - 3	-3
1	F(x) = (1) - 2(1) - 3	-4
2	F(x) = (2) - 2(2) - 3	-3
3	F(x) = (3) - 2(3) - 3	0

Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função quadrática:

• Concavidade


• Localização do vértice


• Zeros ou raízes da função

Concavidade

Observe os exemplos:

F(x)= x

F(x) = 2x - 4x + 3

F(x) = -x + 4

F(x) = -x + 2x + 3

Pelos exemplos dados, podemos observar que em algumas parábolas a abertura ou concavidade está para cima, enquanto que outras está voltada para baixo.

Observe:

F(x) = x , temos a = 1 > 0 concavidade voltada para cima

F(x) = 2x - 4x + 3, temos a = 2 > 0

F(x) = - x +9, temos a = -1 < style=""> concavidade voltada para baixo

F(x) = - x + 2x + 3, temos a = -1< style="">

A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática

F(x) = ax + bx + c do segundo grau depende do sinal do coeficiente a.

a	coeficiente	esboço
a>0	Concavidade voltada para cima
A<0	Concavidade voltada para baixo

Zeros ou raízes da função quadrática

Achar os zeros ou raízes da função de segundo grau é descobrir os pontos em que a parábola de equação F(x) = ax + bx + c ( a ≠ 0) intercepta o eixo x. Como são pontos de intersecção com o eixo x, pertencem ao gráfico e ao eixo, tendo , portanto, coordenadas y = 0, assim devemos fazer F(x) = 0, ou seja,

ax + bx + c = 0.

A equação ax + bx + c = 0 pode ser resolvida utilizando a fórmula de Bháskara:

X = -b ±√Δ / 2.a, em que o discriminante é: Δ = b - 4.a.c.

Podem então, acontecer três casos:

• Quando Δ > 0: neste caso, a equação tem duas raízes reais e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos, x¹ e x².


• Quando Δ = 0: neste caso, a equação tem uma raíz real e a parábola intercepta o eixo x em em apenas um ponto x¹ = x².


• Quando Δ <>

Ex:

F(x) = x - 2x – 3

F(x) = 0

x - 2x – 3 = 0

Δ = 4 -4.1.-3

Δ = 16 16 > 0 , logo a F(x) possui duas raízes reais diferentes

X = 2 ± 4/2.1

x¹ = 3 raízes reais diferentes

x² = -1

F(x) = 0

- x + 2x – 1 = 0

Δ = 4 -4.-1.-1

Δ = 0 Δ = 0 , logo a F(x) possui duas raízes reais iguais

X = - 2 ± 0/2.-1

x¹ = 1 raízes reais iguais

x² = 1

F(x)= x - 2x + 4

x - 2x + 4 = 0

Δ = 4 -4.1.4

Δ = -12 <>

Vértice da parábola

O vértice da parábola é o ponto da curva que corresponde à ordenada máxima ou mínima é será indicado por V(Xv;Yv). Para determinar as coordenadas do vértice da parábola, basta aplicar as fórmulas:

Xv = -b/2.a e Yv = - Δ / 4.a

Exemplos:

Determine as coordenadas do vértice da função: F(x) = x - 6x + 5.

a = 1 Δ = b - 4.a.c. Xv = - (-6)/2.1 Yv = - 16/4.1

b = -6 Δ = (-6) - 4.1.5 Xv = 3 Yv = -4

c = 5 Δ = 36 - 20

Δ = 16

V = ( 3; -4 )